已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N)

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N)
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若数列{bn}满足4^(b1-1).4^(2b2-1).4^(3b3-1)…4^(nbn-1)=(an+1)^n,求数列{bn}的通项公式
(3)若cn=2^n/(ana(n+1)),求数列{cn}的前n项和Sn
冰水沸腾 1年前 已收到4个回答 举报

苍豚 幼苗

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a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2[an+1]
[a(n+1)+1]/[an+1]=2等比公比为2首项2
an+1=2*2(n-1)=2^n
an=2^n-1
(2) 4^(b1+2b2+3b3+……+nbn-n) =(2^n)^n=2^n*n
2(b1+2b2+3b3+……+nbn-n)=n^2
Bn=b1+2b2+3b3+……+nbn=1/2×n^2+n
Bn-Bn-1=nbn=n+1/2
bn=1/2n+1
(3)若cn=2^n/(ana(n+1)),求数列{cn}的前n项和Sn
cn=2^n/(ana(n+1))=2^n/(2^n-1)[2^(n+1)-1]=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
Sn=1-1/[2^(n+1)-1]

1年前

6

NightOwls 幼苗

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两边同时加上1/2-1=1 即a(n+1)+1=2an+1+1 即a(n+1)+1=2(an+1)即[a(n+1)+1]/an+1=2
则数列{an+1}是等比数列,公比是2,首项是2.所以an+1=2*2^(n-1) 所以an=2*2^(n-1)+1

1年前

2

笑姑姑 幼苗

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(1) a(n+1)+k=2×(an+k) ,展开与已知式比较,由对应项相等得k=1 所以an+1为以2为首项、2为公比的等比数列,所以an=2^n-1
(2) 原式左边=4^(b1+2b2+3b3+……+nbn-n) 右边=(2^n)^n=2^n^2
则 2(b1+2b2+3b3+……+nbn-n)=n^2
则记Bn=b1+2b2+3b3+……+nbn=1/...

1年前

0

aashui 幼苗

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(1)已知a(n-1)/an=2a(n-1) 1/1-2an, (1-2an)/an=[2a(n-1所以bn-b(n-1)=4 所以{bn}是公差为4的等差数列(2)由(1)知b1=1/

1年前

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