(2012•烟台一模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).

(2012•烟台一模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足4bn
n
2
=(an+1)n
,求S=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
的值.
昼灭 1年前 已收到1个回答 举报

damaoli 幼苗

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解题思路:(1)根据题意可证得
an+1+1
an+1
=2,从而可求得an+1的通项公式,继而可得数列{an}的通项公式;
(2)由(1)可知an=2n-1,再由4bn
n
2
=(an+1)n可求得bn=[1/2](n2+n),利用裂项法可求得S=[1b1+
1
b2
+…+
1
bn
的值.

证明:(1)an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
又a1=1,
∴a1+1≠0,an+1≠0,

an+1+1
an+1=2,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
即an+1=2n,因此an=2n-1.   …(6分)
(2)∵4bn−
n
2=(an+1)n,
∴4bn−
n
2=2n2,
∴2bn-n=n2
即bn=[1/2](n2+n).…(9分)
∴S=[1
b1+
1
b2+…+
1
bn
=2(1-
1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/n]-[1/n+1])
=2(1-[1/n+1])
=[2n/n+1].…(12分)

点评:
本题考点: 数列的求和;等比数列的通项公式.

考点点评: 本题考查等比数列的通项公式,考查裂项法求和,求得1bn=2(1/n]-[1/n+1])是关键,考查转化与运算能力,属于中档题.

1年前

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