已知数列{an}中a1=1/2,an+1=2an+1分之an[n€N+] 猜想通项公式,并用数学归纳法证明

forray 1年前 已收到1个回答 举报

petrelshy 幼苗

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a1=1/2
a2=2a1+1
a3=2a2+1=2(2a1+1)+1=2^2a1+2+1
a4=2a3+1=2(2^2a1+2+1)+1=2^3a1+2^2+2+1
:
an=2^(n-1)a1+2^(n-2)+2^(n-3)+...+2^2+2+1
=2^(n-2)+(1-2^(n-1))/(1-2)
=1/2*2^(n-1)-1+2^(n-1)
=3*2^(n-2)-1
1.n=1,a1=3*2^(1-2)-1=3/2-1=1/2
2.假设n=k,ak=3*2^(k-2)-1
ak+1=2ak+1=2(3*2^(k-1)-1)+1=3*2^k-2+1=3*2^k-1
所以 n=k+1时等式也成立
根据数学归纳法,an=3*2^(n-2)-1

1年前

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