已知数列{an}满足A1=1/2,An+1=2An/(An+1),证明,不等式0<An<An+1对任意n属于正整数都成立

现象不明 1年前 已收到1个回答 举报

dmdkm4u 幼苗

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证:
a(n+1)=2an/(an +1)
1/a(n+1)=(an +1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2,为定值.
1/a1 -1=1/(1/2) -1=1
数列{1/an -1}是以1为首项,1/2为公比的等比数列.
1/an -1=1/2^(n-1)
1/an=1+1/2^(n-1)=[2^(n-1)+1]/2^(n-1)=(2ⁿ+2)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ+2)
2ⁿ恒>0 因此an恒>0
a(n+1)-an=2^(n+1)/[2^(n+1)+2]-2ⁿ/(2ⁿ+2)
=[2^(n+1)(2ⁿ+2)-2ⁿ[2^(n+1)+2]]/[[2^(n+1)+2](2ⁿ+2)]
=(3×2ⁿ+2)/[[2^(n+1)+2](2ⁿ+2)]>0
a(n+1)>an
不等式0<An<An+1对任意n属于正整数都成立.

1年前 追问

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现象不明 举报

a(n+1))=2an/(an +1)是什么意思?n是下标,不是已知数,你是不是当成已知数做的?

举报 dmdkm4u

本来也是按下标做的,你再仔细看一下。本题比较简单,就是根据已知条件a(n+1)和an的关系,等式两边同取倒数,再变形,得到1/an -1的表达式,进一步求an。
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