已知函数 f(x)= x 2 1+ x 2

（1）f（x）+f（
1
x ）=（12分）
f（x）+f（
1
x ）=
x 2
1+ x 2 +

1
x 2
1+
1
x 2 =1（5分）
（2）

f(1)+f(2)+f(3)++f(2010)+f(
1
2 )+f(
1
3 )++f(
1
2010 )
=2009+
1
2 =
4019
2 （8分）
（3）设0＜x ₁ ＜x ₂


f( x 1 )-f( x 2 )=

x 21
1+
x 21 -

x 22
1+
x 22 =

x 21 (1+
x 22 )-
x 22 (1+
x 21 )
(1+
x 21 )(1+
x 22 )
=

x 21 -
x 22
(1+
x 21 )(1+
x 22 )
=
( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 )
(1+
x 21 )(1+
x 22 ) （11分）
由0＜x ₁ ＜x ₂ 知x ₁ -x ₂ ＜0（12分）
所以有
( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 )
(1+
x 21 )(1+
x 22 ) ＜0 即f（x ₁ ）-f（x ₂ ）＜0
所以f（x ₁ ）＜f（x ₂ ）
函数 f(x)=
x 2
1+ x 2 在区间（0，+∞）上为增函数（14分）