lila2005 幼苗
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(1)∵函数f(x)=x2-ax+3图象是开口向上的抛物线,
关于直线x=[a/2]对称,在(0,1)上为减函数,
∴[a/2≥1,得a≥2…2分
又∵函数g(x)=x2-alnx在区间[1,2]上为增函数
∴g′(x)=2x−
a
x],解g′(x)≥0得2x2≥a
∴a≤(2x2)min=2m,所以a=2…4分
(2)令h(x)=2g(x)+m-f(x)=x2+2x-4lnx+m-3
可得h′(x)=2x+2−
4
x=
2(x+2)(x−1)
x
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上为减函数
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上为增函数…7分
hmin(x)=h(1)=m
∴h(x)≥h(1)=m…10分
当-1<m<0时,
∵h(
1
e)=
1
e2+
2
e+1+m>0,h(1)=m<0
h(e)=e2+2e+m-7>e2+2e-8>0
∴∴h(x)在区间(
1
e,1)和(1,e)内各有一个零点
即f(x)=2g(x)+m在(0,+∞)上有两个解…14分.
(3)设点P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2.
则点M、N的横坐标都为x=
x1+x2
2,
C1:y=f(bx)=b2x2-2bx+3在点M处的切线斜率为2b2x-2b,
取x=
x1+x2
2,得k1=2b2•(
x1+x2
2)-2b=b2(x1+x2)-2b,
C2:g(x)=x2-2lnx在点N处的切线斜率为2x-[2/x],
取x=
x1+x2
2,k2=(x1+x2)-
4
x1+x2.
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2
可得:b2(x1+x2)-2b=(x1+x2)-
4
x1+x2.
∴b2(x1+x2)2-2b(x1+x2)=(x1+x2)2-4
即b2x12+2b2x1x2+b2x22-2b(x1+x2)=x12+2x1x2+x22-4
∴(b2x12-2bx1+3)+(b2x22-2bx2+3)+2b2x1x2=x12+2x1x2+x22+2
即f(bx1)+f(bx2)+2b2x1x2=x12+2x1x2+x22+2
∵f(bx1)+f(bx2)=g(x1)+g(x2)
∴x12-2ln
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题着重考查了利用导数研究函数的单调性、根的存在性及根的个数判断和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识点,属于难题.请同学们注意解题过程中的转化化归和分类讨论的数学思想.
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已知函数f(x)=(x2-ax+1)•xb,x∈[1,+∞).
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(2010•东城区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
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(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
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你能帮帮他们吗