已知函数f（x）=a（1-|x-1|），a为常数，且a＞1．

（1）f(x)＝a(1−|x−1|)＝

a(2−x)，x≥1
ax，x＜1
当x＜1时，f（x）为增函数，最大值为a；当x≥1时，f（x）为减函数，最大值为a，故f（x）的最大值为a．
（2）设点（x₀，y₀）为y=f（x）上任意一点，则
，f（2-x₀）=a（1-|2-x₀-1|）=a（1-|1-x₀|）=a（1-|x₀-1|）=y₀=f（x₀）
所以，函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
（3）当a=2时，f(f(x))＝

4x，x＜
1
2
4−4x，
1
2≤x＜1
4x−4，1≤x≤
3
2
8−4x，x＞
3
2
如图，当m＜0时，方程有2个解；当m=0时，方程有3个解；当0＜m＜2时，方程有4个解；当m=2时，方程有2个解．
综合上述，当m＜0或m=2时，方程有2个解；当m=0时，方程有3个解；当0＜m＜2时，方程有4个解．

点评：
本题考点： 分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查了分段函数单调性，对称的定义，复合函数的性质，综合性较强．