已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2且f(1/2)=0,当x>1/
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2且f(1/2)=0,当x>1/2,f(x)>0,求单调性
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∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2且f(1/2)=0,
∴f(1)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2,
而f(x+1)=f(x)+f(1)+1/2=f(x)+1,
对于任意,都满足,f(x+1)=f(x)+1,即f(x)=x+a,
而f(1/2)=0,
∴f(x)=x-1/2,
f'(x)=1,
∴f(x)是单调递增函数.
∴f(1)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2,
而f(x+1)=f(x)+f(1)+1/2=f(x)+1,
对于任意,都满足,f(x+1)=f(x)+1,即f(x)=x+a,
而f(1/2)=0,
∴f(x)=x-1/2,
f'(x)=1,
∴f(x)是单调递增函数.
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