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nds0ab 幼苗
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ex |
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ex |
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x |
(1)证明:a=1时,f′(x)=2x-ex,f″(x)=2-ex,f″(x)>0时,x<ln2;f″(x)<0时,x>ln2,
∴f′(x)在区间(-∞,ln2)递增,在区间(ln2,+∞)递减,
∴f′(x)max=f'(ln2)=2(ln2-1)<0,即f′(x)<0在R上恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)递减;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,
故方程2ax-ex=0有两个根x1,x2,又x=0显然不是该方程的根,所以方程2a=
ex
x有两个根,
设φ(x)=
ex
x,φ′(x)=
ex(x−1)
x2,当x<0时,φ(x)<0且φ′(x)<0,φ(x)单调递减,
当x>0时,φ(x)>0,当0<x<1时,φ′(x)<0,φ(x)单调递减,
当x>1时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增,
要使方程2a=
ex
x有两个根,需2a>φ(1)=e,即a>
e
2且0<x1<1<x2,
故a的取值范围为(
e
2,+∞).
点评:
本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.
1年前
已知函数f(x)=ax2−2x,x∈R(其中a>0且a≠1);
1年前1个回答
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