已知函数f(x)＝ax2+xe−lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）．

解题思路：（Ⅰ）由条件知函数f（x）的定义域是（0，+∞），求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，（II）令g(x)＝ax+1e(x＞0)，h(x)＝lnxx(x＞0)，当a＞0时，f（x）＞1e，h′(x)＝1−lnxx2(x＞0)，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，从而得出h（x）最大值，最终得到即f(x)＝ax2+xe−lnx＞0恒成立，从而f（x）=0无解．或者设f （x）的极小值点为x0，利用其最小值f(x0)＝ax02+x0e−lnx0恒大于0即可证得f（x）=0没有实数解．

（Ⅰ）因为x＞0，
当a=[1/2]时，f′(x)＝2ax+
1
e−
1
x=x+
1
e−
1
x=
ex2+x−e
ex，
令f'（x）＞0，所以x＞
−1+
1+4e2
2e，
令f'（x）＜0，所以0＜x＜
−1+
1+4e2
2e；
所以函数f（x）的单调增区间为(
−1+
1+4e2
2e，+∞)；
单调减区间为(0，
−1+
1+4e2
2e)．-------------------------------------（7分）

（Ⅱ）解一：令g(x)＝ax+
1
e(x＞0)，h(x)＝
lnx
x(x＞0)
当a＞0时，g(x)＞
1
e----------------------------------------------------------（10分）h′(x)＝
1−lnx
x2(x＞0)
令h'（x）＞0，则x∈（0，e）
所以h（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，
所以h（x）_max=h（e）=[1/e]---------------------------------------------------------------（13分）
所以x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+
1
e＞
lnx
x
即ax+
1
e＞
lnx
x，f(x)＝ax2+
x
e−lnx＞0恒成立，
所以f （x）=0无解．----------------------------------------------------------------------（15分）
解二：设f （x）的极小值点为x₀，则f(x0)＝ax02+
x0
e−lnx0，
令g（x₀）=
x0
e−lnx0，则g'（x₀）=[1/e−
1
x0]，---------------------------------（10分）
当x₀＞e 时，g'（x₀）＞0，
当x₀＜e 时，g'（x₀）＜0，
所以g（x₀）_min=g（e）=0，即
x0
e−lnx0＞0，------------------------------------------（13分）
故f(x0)＝ax02+
x0
e−lnx0＞0恒成立．
所以f （x）=0无解．-------------------------------------------------（15分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．