已知函数f(x)＝ax2+xe−lnx（其中a为常数，e为自然对数的底数）．

解题思路：（1）先求f'（x）=2ax+

1

e

−

1

x

，再由：“

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＜0”得出“f（x）在（0，+∞）上为单调减函数”转化为“f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立”，最后转化为最值法求解．
（2）令g（x）=ax+[1/e]（x＞0），h（x）=[lnx/x]（x＞0），当a＞0时，f（x）＞[1/e]，h′（x）=[1−lnx/2]，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，从而得出h（x）最大值，最终得到即ax2+[x/e]-lnx＞0恒成立从而f（x）=0无解．

(1)f′(x)＝2ax+
1
e−
1
x(x＞0)…(2分)，
由条件f′(x)＝
2aex2+x−e
ex≤0恒成立…(4分)，
∴2ae≤
e−x
x2…(6分)，
∵[e−x
x2＝e(
1/x−
1
2e)−
1
4e≥−
1
4e∴2ae≤−
1
4e]，
∴a≤−
1
8e2…(8分)．
（2）令g（x）=ax+[1/e]（x＞0），h（x）=[lnx/x]（x＞0），当a＞0时，f（x）＞[1/e]，h′（x）=[1−lnx/2]，令h′（x）＞0，则x∈（0，e），
故h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，
∴h（x）最大值为：h（e）=[1/e]，
∴x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+[1/e]＞[lnx/x]，
即ax2+[x/e]-lnx＞0恒成立，
∴f（x）=0无解．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查函数恒成立问题、用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．