已知函数f(x)＝ax2+1bx+c，(a，b，c∈Z)是奇函数，f（-1）=-2，f（2）＜3．

解题思路：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），即

a(−x)2+1

−bx+c

＝−

ax2+1

bx+c

可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3结合a，b∈Z 可求a，b，进而可求f（x）
（2）由（1）可得g（x）=xf（x）=1+x²，则∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，对函数求导可得∅′（x）=4x³+2（2-λ）x，若使函数∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增，则∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0，可求λ，代入检验是否符合题意
（3）m（x）=f（x）-[5/x]=x−

4

x

，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面研究函数的性质

（1）∵函数f(x)＝
ax2+1
bx+c，(a，b，c∈Z)是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即
a(−x)2+1
−bx+c＝−
ax2+1
bx+c
∴c=0，f（x）=
ax2+1
bx
∵f（-1）=-2，f（2）＜3．
∴


a+1
−b＝−2

4a+1
2b＜3
∵

a+1＝2b

4a+1−6b
2b＜0
∴[a−2/a+1＜0，解得-1＜a＜2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
当a=0时，b=
1
2∉Z
当a=1时，b=1，满足题意，此时f（x）=
1+x2
x]
（2）∵g（x）=xf（x）=1+x²，
∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=g（1+x²）-λ（1+x²）=1+（1+x²）²-λ（1+x²）
=x⁴+（2-λ）x²+2-λ
∴∅′（x）=4x³+2（2-λ）x
若使函数∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增
则∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0
∴λ=4，此时∅（x）=x⁴-2x²-2，∅′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）
∅′（x）＞0可得x＞1或-1＜x＜0，即函数在（1，+∞），（-1，0）单调递增
∅′（x）＜0可得0＜x＜1或x＜-1即函数在（0，1），（-∞，-1）单调递减
使∅（x）在（-∞，-1）内是单调递减，在（-1，0）内是单调递增的λ=4
（3）m（x）=f（x）-[5/x]=

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的图象．

考点点评： 本题综合考查了函数的奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调区间的存在及函数性质的研究，考查了考试探索新问题的能力