ax2+bx+c |
ex |
小寒烟袅袅 幼苗
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(Ⅰ)f′(x)=
(2ax+b)ex−(ax2+bx+c)ex
(ex)2=
−ax2+(2a−b)x+b−c
ex,
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因为ex>0,所以y=f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以-3<x<0时,g(x)>0,即f'(x)>0,
当x<-3,或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0,
所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有
9a−3b+c
e−3=−e3
b−c=0
−9a−3(2a−b)+b−c=0,
解得a=1,b=5,c=5,
所以f(x)=
x2+5x+5
ex.
∵f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
∴f(0)=5为函数f(x)的极大值,
∴f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者.
而f(−5)=
5
e−5=5e5>5,所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题,考查学生分析问题解决问题的能力,属中档题.
1年前
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