已知函数f（x）=ax2+bx-a+2

解题思路：（1）通过不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），列出不等式即可求实数a，b的值；
（2）通过b=2，a＞0，转化不等式f（x）＞0为二次不等式，利用方程的根的大小比较，分类讨论求解即可；
（3）通过a=1，b∈R，当x∈[1，4]时函数y=f（x）的图象恒在函数y=-2x-3图象的上方，转化为不等式恒成立，利用分类讨论以及函数的最值求解实数b的取值范围．

（1）由题意知：

a＜0
−
b
a＝2

−a+2
a＝−3∴

a＝−1
b＝2…（3分）
（2）当b=2，a＞0时，ax²+2x-a+2＞0
∴（ax-a+2）（x+1）＞0…（5分）
∴(x−
a−2
a)(x+1)＞0
（I）当
a−2
a＞−1，即a＞1时，不等式解集为{x|x＜−1或x＞
a−2
a}
（II）当
a−2
a＝−1，即a=1时，不等式解集为{x|x≠-1}
（III）当
a−2
a＜−1，即0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＜
a−2
a或x＞−1}…（8分）
（3）当a=1，b∈R时，由题意可知：x²+bx+1＞-2x-3对x∈[1，4]恒成立
即x²+（b+2）x+4＞0x∈[1，4]恒成立…（10分）
令g（x）=x²+（b+2）x+4
（I）当−
b+2
2≤1时，即b≥4时，g（x）在[1，4]单调增
∴
g(x)min＝g(1)＝b+7＞0∴b＞-7此时b≥-4
（II）当−
b+2
2≥4时，即b≤-10时，g（x）在[1，4]单调减
∴
g(x)min＝g(4)＝28+4b≥0∴b＞-7此时b不存在
（III）当1＜−
b+2
2≤4时，即-10＜b＜-4时，
g(x)min＝
16−(b+2)2
4＞0∴-6＜b＜2此时-6＜b＜-4
由此可知b＞-6…（16分）

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查函数的恒成立，分类讨论思想的应用以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．