kkxx2006 幼苗
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(1)∵函数f(x)=ax2−2x,x∈R是由y=au和u=x2-2x两个函数复合而成,
∵内函数u=x2-2x的对称轴为x=1,
∴u=x2-2x的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞),
∵a>1,
∴外函数y=au是R上的单调递增函数,
根据复合函数单调性的“同增异减”规则,
∴函数f(x)=ax2−2x的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞);
(2)当a=[1/2],则f(x)=(
1
2)x2−2x,
∵u=x2-2x=(x-1)2-1,
∴对称轴为x=1∈[0,3],
∴当x=1时,u取最小值-1,当x=3时,u取最大值3,
∴-1≤u≤3,
∵y=([1/2])u是R上的单调递减函数,
∴当u=3时,y=([1/2])u取最小值[1/8],当u=-1时,y=([1/2])u取最大值2,
∴[1/8]≤y≤2,
∴f(x)在x∈[0,3]上的值域为[
1
8,2].
点评:
本题考点: 指数函数的单调性与特殊点;函数的值域.
考点点评: 本题考查了函数的单调性与特殊点,考查了函数的值域.对于函数单调性的判断与证明,注意一般单调性的证明选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.本题运用了复合函数的单调性,关键是应用复合函数单调性判断的规则“同增异减”.常见的求值域的方法有:直接法,单调性法,换元法,分离常数法,性质法,不等式法,几何意义法等等.根据具体的题目的条件,判断出该题该使用何种方法进行求解.属于中档题.
1年前
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