来看看哈已知f(X)是实数集R上的函数.且对任意X∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立求证f(x)是周期函数

hmlovebb 1年前已收到3个回答举报

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1)证明:因为,
f(x)=f(x+1)+f(x-1).(1)
f(x+1)=f(x+1+1)+f(x+1-1).(2)
由(1)+(2)得,
f(x+2)+f(x-1)=0.(3)
由(3)得,
f(x+1+2)=-f(x+1-1),
f(x+3)=-f(x),
f(x)=-f(x+3).
由(3)得,
f(x+4+2)+f(x+4-1)=0,
f(x+6)=-f(x+3)=f(x).
所以,f(x)是以6为周期的周期函数.

1年前

milantom 幼苗

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要了解周期函数的定义就好做了,令x=y+t那么带入就可以出来了

1年前

601005 花朵

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证明：
因为f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以f(x+1)=f(x+2)+f(x)
两式相加整理可得f(x+2)=-f(x-1)
所以f(x+3)=-f(x)
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
所以f(x)是周期为6的函数

1年前

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