已知函数f(x)＝sin2x+23sinxcosx+sin(x+π4)sin(x−π4)．

解题思路：（1）由已知中函数f(x)＝sin2x+2

3

sinxcosx+sin(x+

π

4

)sin(x−

π

4

)，利用降次公式（逆用二倍角余弦公式），二倍角公式，两角和与差的正弦公式（也可利用积化和差公式），及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质求出f（x）的最小正周期和f（x）的值域；
（2）根据（1）中所得f（x）的解析式，我们根据0≤x0≤

π

2

及正弦型函数的图象和性质，求出2x₀-[π/6]的三角函数值，进而根据倍角公式及两角和与差的三角函数公式，求出f（2x₀）的值．

（1）f(x)＝sin2x+2
3sinxcosx+sin(x+
π
4)sin(x−
π
4)=
1−cos2x
2+
3sin2x+(

2
2sinx+

2
2cosx)(

2
2sinx−

2
2cosx)=
3sin2x−cos2x+
1
2=2sin(2x−
π
6)+
1
2．…..（4分）
所以f（x）的最小正周期T=π；…..…．…..（5分）
由−1≤sin(2x−
π
6)≤1，得f（x）的值域为[−
3
2，
5
2]．…..（7分）
（2）f(x)＝2sin(2x−
π
6)+
1
2，由题设知f（x₀）=0⇒sin(2x0−
π
6)＝−
1
4，…．（8分）
由0≤x0≤
π
2⇒−
π
6≤2x0−
π
6≤
5π
6，结合sin(2x0−
π
6)＜0知−
π
6≤2x0−
π
6＜0，
可得cos(2x0−
π
6)＝

15
4．…..（10分）
sin2x0＝sin((2x0−
π
6)+
π
6)=sin(2x0−
π
6)cos
π
6+cos(2x0−
π
6)sin
π
6=−
1
4×

3
2+

15
4×
1
2=

15−
3
8，cos2x0＝cos((2x0−
π
6)+
π
6)=cos(2x0−
π
6)cos
π
6−sin(2x0−
π
6)sin
π
6=

15
4×

3
2+
1
4×
1
2=
3
5+1
8，
∴sin(4x0−
π
6)＝sin2x0cos(2x0−
π
6)+cos2x0sin(2x0−
π
6)=

15−
3
8×

15
4+
3
5+1
8×(−
1
4)=
7−3
5
16
∴f(2x0)＝2sin(4x0−
π
6)+
1
2=2×
7−3
5
16+
1
2=
11−3
5
8．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知条件结合降次公式（逆用二倍角余弦公式），二倍角公式，两角和与差的正弦公式（也可利用积化和差公式），及辅助角公式，化简函数的解析式为正弦型函数的形式，是解答本题的关键．