已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x+m (m∈R).

已知函数f(x)=sin2x+2
3
sinxcosx+3cos2x+m(m∈
R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程;
(Ⅱ)当x∈[0,
π
3
]
时,f(x)的最大值为9,求实数m的值.
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4688940 春芽

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解题思路:(Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用,可求得f(x)=2sin(2x+
π
6])+m+2,利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程;
(Ⅱ)当x∈[0,[π/3]]时,[π/6]≤2x+[π/6]≤[5π/6],[1/2]≤sin(2x+[π/6])≤1,从而可求得f(x)∈[3+m,4+m],利用f(x)的最大值为9,可求实数m的值.

(Ⅰ)f(x)=sin2x+2
3sinxcosx+3cos2x+m
=[1−cos2x/2]+
3sin2x+3×[1+cos2x/2]+m
=
3sin2x+cos2x+m+2
=2sin(2x+[π/6])+m+2,
由-[π/2]+2kπ≤2x+[π/6]≤[π/2]+2kπ,k∈Z,
得-[π/3]+kπ≤x≤[π/6]+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调增区间为[-[π/3]+kπ,[π/6]+kπ](k∈Z).
由2x+[π/6]=[π/2]+kπ(k∈Z)得,x=[π/6]+[kπ/2],k∈Z,
∴函数f(x)的对称轴方程是x=[π/6]+[kπ/2],k∈Z.
(Ⅱ)∵当x∈[0,[π/3]]时,[π/6]≤2x+[π/6

点评:
本题考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;三角函数的最值.

考点点评: 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想,属于中档题.

1年前

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