已知函数f(x)＝4sin2π+2x4 • sinx+(cosx+sinx)(cosx−sinx)．

解题思路：（1）利用二倍角的余弦公式和平方差公式整理函数式，再合并同类型，点的三角函数的最简形式．
（2）根据上一问做出的函数的解析式，代入自变量整理出函数式，根据正弦函数的单调性先写出函数的单调区间，根据所给的单调区间，两者进行比较，得到ω的取值范围．
（3）原方程可化为2sin²x-sinx+a-1=0，换元令sinx=t，则问题转化为方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]内有一解或两解，根据解的情况写出实根分布的充要条件，得到结果．

（1）f(x)＝2[1−cos(
π
2+x)] • sinx+cos2x−sin2x=（2+2sinx）sinx+1-2sin²x=2sinx+1（14分）
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1
由2kπ−
π
2≤ωx≤2kπ+
π
2得
2kπ
ω−
π
2ω≤x≤
2kπ
ω+
π
2ω，k∈Z
∴f（ωx）的递增区间为[
2kπ
ω−
π
2ω，
2kπ
ω+
π
2ω]，k∈Z
∵f（ωx）在[−
π
2，
2π
3]上是增函数
∴当k=0时，有[−
π
2，
2π
3]⊆[−
π
2ω，
π
2ω]
∴

ω＞0
−
π
2ω≤−
π
2


π
2ω≥
2π
3解得0＜ω≤
3
4
∴ω的取值范围是(0，
3
4]（8分）
（3）解一：方程f（x）（sinx-1）+a=0即为（2sinx+1）（sinx-1）+a=0从而问题转化为方程a=-2sin²x+sinx+1有解，只需a在函数y=-2sin²x+sinx+1的值域范围内
∵y＝−2sin2x+sinx+1＝−2(sinx−
1
4)2+
9
8
当sinx＝
1
4时，ymax＝

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值及一元二次方程的实根分布，本题解题的关键是整理出三角函数的解析式，熟练应用三角函数的公式来解题，本题是一个中档题目．