已知函数f(x)＝12x2−13ax3(a＞0)，函数g（x）=f（x）+ex（x-1），函数g（x）的导函数为g′（x

（1）∵f(x)＝
1
2x2−
1
3ax3(a＞0)，∴f′（x）=x-ax²=-ax（x-[1/a]）；
∴当f′（x）=0时，解得x=0或x=[1/a]；
又a＞0，∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x∈（0，[1/a]）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（[1/a]，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴f（x）的极小值是f（0）=0，f（x）的极大值是f（[1/a]）=[1
6a2；
（2）∵a=e，∴g（x）=
1/2]x²-[1/3]ex³+e^x（x-1），∴g′（x）=x（e^x-ex+1）；
（i）设h（x）=（e^x-ex+1），则h′（x）=e^x-e，
当x∈（-∞，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数；
∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴在（0，+∞）上，g′（x）＞0，在（-∞，0）上，g′（x）＜0；
∴g（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（-∞，0）；
（ii）x＞0时，g′（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx⇔e^x-ex+1≥[1+lnx/x]；
由（i）知，h（x）=e^x-ex+1≥1，∴1≥[1+lnx/x]，∴1+lnx-x≤0；
设φ（x）=1+lnx-x（x＞0），则φ′（x）=[1−x/x]；
在区间（0，1）上，φ′（x）＞0，φ（x）是增函数，在区间（1，+∞）上，φ′（x）＜0，φ（x）是减函数；
∴φ（x）≤φ（1）=0，即1+lnx-x≤0，[1+lnx/x]≤1，
∴e^x-ex+1≥1≥[1+lnx/x]，即g′（x）≥1+lnx恒成立；