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梅开似雪 幼苗
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−ax2−3 |
x |
f′(x)=ax2+2bx+3(2分)
(1)∵a=1
∴f′(x)=x2+2bx+3=(x+b)2+3-b2,
f(x)的导函数的图象关于直线x=2对称
∴b=-2,f′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)(4分)
f(x)在区间[0,2]上的最小值=min{{f(0),f(2)}=min{−2,−
4
3}=−2(7分)
(2)由a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,
知:ax2+2bx+3>0,∀x∈(0,1]恒成立2bx>-ax2-3
∵x>0,∴2b>−(ax+
3
x)⇒2b>−(ax+
3
x)max(10分)
为求最大值,先以下求函数y=ax+
3
x的最小值y′=a−
3
x2=
ax2−3
x2=
a(x−
3
a)(x+
3
a)
x2
当
3
a<1时,y′(x)在(0,
3
a)上为负,在(
3
a
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 考查学生利用导数研究函数单调性的能力,利用导数求闭区间上函数最值的能力.以及理解不等式恒成立时所取的条件.
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