（2010•衢州一模）已知函数f(x)＝13x3−2ax2+3a2x−1(a＞1)．

解题思路：（I）对函数求导，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（II）由题意可得f（x）的最大值≤2a²-1恒成立x∈[-1，2]，利用导数求函数f（x）在[-1，2]上的最大值．

（Ⅰ）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f^/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=[4/3a2-1，
令
4
3a2−1≤2a2-1⇒a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a²-8a+
5
3]，
令6a2−8a+
5
3≤2a2−1⇒3a2-6a+2≤0⇒1-

6
3＜a＜1+

6
3，
又a＞2，所以无解．
由上可知1＜a≤2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题综合考查了利用函数的导数研究函数的极值最值问题，体现了转化的思想和分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．