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m+1 |
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28紫cc 春芽
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(Ⅰ)f'(x)=x2-(m+1)x,
因为f(x)在x=1处取得极值,所以f'(1)=12-(m+1)=0,
所以m=0
故f(x)=[1/3x3−
1
2x2.(1分)
所以f'(x)=x2-x,
由f'(x)=x2-x=0
解得x=1或x=0
当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0
故函数的单调增区间是(-∞,0),(1,+∞);单调递减区间是(0,1)(3分)
(Ⅱ)f'(x)=x2-(m+1)x,
因为f(x)在区间(2,+∞)为增函数,
所以x2-(m+1)x≥0在区间(2,+∞)上恒成立,即m+1≤x恒成立(5分)
由于x>2,
所以m+1≤2,故m≤1.
当m=1时,f'(x)=x2-2x在x∈(2,+∞)恒大于0,
故f(x)在(2,+∞)上单调递增,符合题意.
所以m的取值范围m≤1(7分)
(Ⅲ)设h(x)=f(x)−g(x)=
1
3x3−
m+1
2x2+mx−
1
3],
故h'(x)=(x-m)(x-1).
令h'(x)=(x-m)(x-1)=0,
得x=m或x=1,
由(Ⅱ)知m≤1①
当m=1时,h'(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上是单调递增,显然不合题意(9分)
②当m<1时,h(x)h'(x)随x的变化情况如下表:(11分)
欲使方程f(x)-g(x)=0有三个不同的根,即函数h(x)=f(x)-g(x)与x轴有三个不同的交点,由该三次函数图象可知,
<br/>−
m3
6+
m2
2−
1
3>0
<br/>
m−1
2<0<br/>,∴
<br/>(m−1)(m2−2m−2)<0
<br/>m<1<br/>,
解得m<1−
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.
1年前
1年前1个回答
(2010•沈阳一模)已知函数f(x)=|x-4|+|x+5|.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗