已知函数f(x)=x+ax(a>0).(1)若不等式f(x)<b的解集是(1,3),求不等式ax2-bx+1<0的解集;

已知函数f(x)=x+
a
x
(a>0)
.(1)若不等式f(x)<b的解集是(1,3),求不等式ax2-bx+1<0的解集;(2)若f(1)=f(2),证明f(x)在(0,
2
]
上是单调递减函数.
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去问额日 花朵

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解题思路:(1)由不等式f(x)<b的解集是(1,3)即x+
a
x
<b
的解集为(1,3)可知x=1,x=3是x+
a
x
=b
的根,从而可求a,b,进而可求不等式ax2-bx+1<0的解集
(2)由f(1)=f(2)可求a,利用函数单调性的定义可证明

(1)∵不等式f(x)<b的解集是(1,3)即x+
a
x<b的解集为(1,3)
∴x=1,x=3是x+
a
x=b 的根,
∴a=3,b=4
∴ax2-bx+1=3x2-4x+1<0的解集为{x|
1
3<x<1}
(2)由f(1)=f(2)可得,1+a=2+[a/2]
∴a=2,f(x)=x+[2/x]
设0<x1<x2
2
则f(x1)-f(x2)=x1+
2
x1−x2−
2
x2=(x1-x2)+
2(x2−x1)
x1x2
=
(x1−x2)(x1x2−2)
x1x2
∵0<x1<x2
2∴x1x2>0,x1-x2<0,x1x2-2<0
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2
∴函数f(x)=x+[2/x]在(0,
2]单调递减

点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;一元二次不等式的解法;其他不等式的解法.

考点点评: 本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系的应用,及利用定义判断函数的单调性,属于函数性质的应用.

1年前

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