已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,f(1)≠f(3),证明方程f(x)=1/2[f(1)+f(3)]必有个实数根属

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,f(1)≠f(3),证明方程f(x)=1/2[f(1)+f(3)]必有个实数根属于区间（1,3）

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设g（x）=2f（x）-f（1）-f（3）
所以g（1）=f（1）-f（3） g（3）=-（f（1）-f（3））
所以g（1）g（3）=-(f(1)-f(3))²
因为f(1)≠f(3)
所以g(1)g(3)＜0 又因为g(x)在（1,3）连续
所以方程g（x）=2f（x）-f（1）-f（3）=0在（1,3）有根
也即方程f(x)=1/2[f(1)+f(3)]必有个实数根属于（1,3）

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