已知Sn为数列{bn}的前n项和,b1=1.且满足2bn/(bnSn-Sn^2)=1(n大于1）
已知Sn为数列{bn}的前n项和,b1=1.且满足2bn/(bnSn-Sn^2)=1(n大于1）
（1）证明：数列{1/Sn}成等差数列；
（2）求数列{bn}的通项公式.
（1）证明：数列{1/Sn}成等差数列；
（2）求数列{bn}的通项公式.
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把bn=S[n]-S[n-1]代入2bn/bnSn-Sn^2=1整理得
S[n]-S[n-1]+0.5SnS[n-1]=0
两边同除以S[n]S[n-1]得1/Sn-1/S[n-1]=1/2
所以{1/Sn}是首项为1,公差为1/2的等差数列
1/Sn=1+(1/2)(n-1)=(n+1)/2
所以Sn=2/(n+1)
bn=Sn-S[n-1]=-2/(n^2+n),n≥2
b1=1不满足上式
所以bn={1,n=1
-2/(n^2+n),n≥2}
S[n]-S[n-1]+0.5SnS[n-1]=0
两边同除以S[n]S[n-1]得1/Sn-1/S[n-1]=1/2
所以{1/Sn}是首项为1,公差为1/2的等差数列
1/Sn=1+(1/2)(n-1)=(n+1)/2
所以Sn=2/(n+1)
bn=Sn-S[n-1]=-2/(n^2+n),n≥2
b1=1不满足上式
所以bn={1,n=1
-2/(n^2+n),n≥2}
1年前
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