蓝艾儿
花朵
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第一个问题:
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.
由BD⊥AD、AM⊥BM,得:A、D、B、M共圆,∴∠ADM=∠ABC=45°.
由CE⊥AE、AM⊥CM,得:A、E、C、M共圆,∴∠AEM=∠ACB=45°.
由∠ADM=45°、∠AEM=45°,结合三角形内角和定理,得:∠DME=90°.
∴△MDE是以DE为底边的等腰直角三角形.
第二个问题:
∵M是等腰直角三角形ABC中斜边BC的中点,∴∠BAM=∠CAM=45°.
∵∠PAQ=90°、∠PMQ=90°,∴A、P、Q、M共圆,又∠PAM=∠QAM,∴PM=QM.
由余弦定理,有:
PM^2=PB^2+BM^2-2PB×BMcos∠ABC,QM^2=CQ^2+CM^2-2CQ×CMcos∠ACB.
∴PB^2+BM^2-2PB×BMcos∠ABC=CQ^2+CM^2-2CQ×CMcos∠ACB
又BM=CM,∴PB^2-2PB×BMcos∠ABC=CQ^2-2CQ×BMcos∠ACB
∴16-2×4BMcos45°=100-2×10BMcos45°, ∴4-2BM/√2=25-5BM/√2,
∴3BM/√2=21,∴BM=7√2.
∴PM^2=PB^2+BM^2-2PB×BMcos∠ABC=16+49×2-2×4×7√2cos45°=58.
于是:△MPQ的面积=PM×QM/2=PM^2/2=58/2=29.
1年前
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