已知四棱锥S-ABCD,底面为正方形,SA垂直ABCD,AB=AS=a,M,N分别是AB,CS的中点,求证:平面ABN垂

已知四棱锥S-ABCD,底面为正方形,SA垂直ABCD,AB=AS=a,M,N分别是AB,CS的中点,求证:平面ABN垂直平面SCD
hxp1979 1年前 已收到2个回答 举报

小梦帆 花朵

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∵ABCD是正方形,∴AB=BC、∠MBC=90°.
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,∴∠MAS=90°.
∵AB=AS、AB=BC,∴AS=BC,而∠MAS=∠MBC=90°、MA=MB,∴△MAS≌△MBC,
∴MS=MC,又N∈SC且NS=NC,∴MN⊥SC.
∵SA⊥平面ABCD,∴BC⊥SA,又BC⊥AB、SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥SB,
而N是SC的中点,∴BN=SC/2.
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AC,又N是SC的中点,∴AN=SC/2.
由BN=SC/2、AN=SC/2,得:AN=BN,而M是AB的中点,∴MN⊥AB.
∵ABCD是正方形,∴AB∥CD,而MN⊥AB,∴MN⊥CD.
由MN⊥SC、MN⊥CD、SC∩CD=C,得:MN⊥平面SCD,而MN在平面ABN上,
∴平面ABN⊥平面SCD.

1年前

8

bugandhacker 幼苗

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证明:取CD中点记为G,连接NG,BG
AB垂直SA,AB垂直AD,故AB垂直平面SAD,即AB垂直SD
NG平行于SD,故NG垂直AB
由三角形DBG三边关系(分别求出3边长)可知BN垂直于NG,
NG垂直BN,NG垂直AB,AB,BN交于B。故NG垂直平面ABN,NG属于面SCD,故平面ABN垂...

1年前

2
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