(2006•东城区二模)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、

(2006•东城区二模)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面ABCD所成角的大小;
(3)求二面角P-EC-D的大小.
Q版小辛 1年前 已收到1个回答 举报

一米灿烂 幼苗

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解题思路:(1)取PC的中点H,连接FH,EH,证明四边形AEHF是平行四边形,然后利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面PEC;
(2)连接AC,说明PC与平面ABCD所成的角的大小,就是∠PCA;在Rt△PAC中,求PC与平面ABCD所成的角的大小;
(3)延长CE至O,使得AO⊥CE于O,连接PO,说明∠POA就是二面角P-EC-D的大小,利用三角形相似,求出AO,在Rt△PAO中,求出二面角P-EC-D的大小.

(1)取PC的中点H,连接FH,EH,
因为E、F分别是AB、PD的中点.
所以FH∥DC,FH=[1/2]DC,又AB∥DC,
∴FH∥AE,并且FH=AE.
∴四边形AEHF是平行四边形,
∴AF∥EH,∵EH⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,
所以AF∥平面PEC;
(2)连接AC,因为PA⊥平面ABCD,
所以PC与平面ABCD所成的角的大小,就是∠PCA;
因为底面ABCD是矩形,PA=AD=1,AB=2,
所以AC=
12+22=
5,
在Rt△PAC中∴tan∠PCA=[PA/AC]=
1

5=

5
5,
∠PCA=arctan

5
5.
(3)延长CE至O,使得AO⊥CE于O,
连接PO,因为PA⊥平面ABCD,
所以∠POA就是二面角P-EC-D的大小,
在Rt△AOE与Rt△EBC中,易得


Rt△AOE∽Rt△EBC,
所以[AO/BC=
AE
EC],EC=
EB

点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.

考点点评: 本题是中档题,考查直线与平面的平行,直线与平面所成的角的大小,二面角的大小的求法,正确作出有关的角是解题的关键,考查定理的应用,空间想象能力,计算能力.

1年前

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