如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，BC=2，E，F

解题思路：（1）证明AC⊥平面PAB，根据线面线面垂直的判定定理，即证明AC⊥AB，PA⊥AC，
（2）解法1：确定∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故∠PCA=

π

3

，分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，可证∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，在Rt△FMN中，即可求二面角F-AE-C的大小；
解法2：建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PCD的一个法向量与平面ABCD的一个法向量，利用平面PDC与底面ABCD所成二面角为[π/3]，确定PA的长，求出平面FAE的一个法向量，利用

AP

是平面AEC的一个法向量，即可求得二面角F-AE-C的大小．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC，∴AB=AC=1，且BC=
2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=
π
2，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）知AC⊥AB，且ABCD是平行四边形，可知AC⊥CD，
又∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，PC⊥CD，
又∵PC∩AC=C由二面角的平面角的定义可知，∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故∠PCA=
π
3，
故在Rt△PAC中，AC=1，∴PA=
3，PC=2，
从而AF=
1
2PC=1，EF=
1
2PB=
1
2PC=1，
又在Rt△ABC中，AE=
1
2BC=

2
2，∴在等腰三角形△FAE，
分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，
∴中位线FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中线FM⊥AE，由三垂线定理知，MN⊥AE，∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，FN=
1
2PA=

3
2，MN=
1
2EC=

2
4，tan∠FMN=
FN
MN=
6，∠FMN=arctan
6，
∴二面角F-AE-C的大小为arctan
6．
解法2：由（Ⅰ）知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=λ，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，λ），

D（-1，1，0），E(
1
2，
1
2，0)，F(0，
1
2，
λ
2)，则

CP=(0，-1，λ)，

CD=(-1，0，0)，

AP=(0，0，λ)
设平面PCD的一个法向量为

n1=(x1，y1，z1)，
则由



n1•
.
CD=0


n1•
.
CP=0得

x1=0
y1=λz1，取

n1=(0，λ，1)
又

AP是平面ABCD的一个法向量，
平面PDC与底面ABCD所成二面角为[π/3]cos＜

AP，

n1＞=


AP•

n1
|

AP||

n1|=
λ
λ
λ2+1=cos
π
3，
解得λ=
3，
设平面FAE的一个法向量为

n2=(x2，y2，z2)，
则由



n2•

AE=0


n2•

CP=0得

x2=-y2
y2=λz2，取

n2=(-
3，
3，1)．
又

AP是平面AEC的一个法向量，
设二面角F-AE-C的平面角为θ，则cos＜

AP•

n2＞=


AP•

n2
|

AP||

n2|=

3

3•
7=

7
7，
∴cosθ=

7
7∴θ=arccos

7
7
∴二面角F-AE-C的大小为arccos

7
7．…（12分）

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查线面垂直、面面角，解题的关键是利用线面垂直的判定定理，掌握面面角的求法，传统方法与向量方法一起运用，注意细细体会．