(2014•许昌二模)已知四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是边长为1的正方形.E是最短

(2014•许昌二模)已知四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是边长为1的正方形.E是最短的侧棱PC上的动点.
(Ⅰ)求证:P、A、B、C、D五点在同一个球面上,并求该球的体积;
(Ⅱ)如果点F在线段BD上,DF=3BF,EF∥平面PAB,求[PE/EC]的值.
zanhong 1年前 已收到1个回答 举报

耶律撒冷 春芽

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解题思路:(Ⅰ)设PA的中点为M,证明CM=PM=AM=BM=DM,即可得出结论;
(Ⅱ)连接CF并延长交AB于K,连接PK,则利用线面平行的性质,可得EF∥PK,利用DF=3BF,AB∥CD,即可得出结论.

(Ⅰ)证明:设PA的中点为M,则
∵△PAC为直角三角形,
∴CM=PM=AM=

6
2.
设正方形ABCD的中心为点O,则OM∥PC,OM=1且PC⊥底面ABCD,
∴OM⊥底面ABCD,
∵O为BD的中点,
∴BM=DM=

6
2,
∴CM=PM=AM=BM=DM,
∴P、A、B、C、D五点在以M为球心,半径为

6
2的同一个球面上,球的体积为
4
3π•(

6
2)3=
6π;
(Ⅱ)连接CF并延长交AB于K,连接PK,则
∵EF∥平面PAB,EF⊂面PCK,面PCK∩平面PAB=PK,
∴EF∥PK,
∵DF=3BF,AB∥CD,
∴CF=3KF,
∵EF∥PK,
∴CE=3PE,
∴[PE/EC]=[1/3].

点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;球的体积和表面积.

考点点评: 本题考查线面平行的性质,考查线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

1年前

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