已知函数f(x)＝12ax2+2x−lnx

解题思路：（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．
（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，则f（x）在区间[

1

3

，2]上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间[

1

3

，2]上恒大于0即可．

（1）函数的定义域为（0，+∞）
∵f(x)＝
1
2ax2+2x−lnx当a=0时，f（x）=2x-lnx，则f′(x)＝2−
1
x
∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x （0，[1/2]） [1/2] （[1/2]，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 极小值 ∴当x＝
1
2时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．
（2）由已知，得f(x)＝
1
2ax2+2x−lnx，且x>0，则f′(x)＝ax+2−
1
x＝
ax2+2x−1
x
若a=0，由f'（x）>0得x>
1
2，显然不合题意
若a≠0∵函数f（x）区间[
1
3，2]是增函数
∴f'（x）≥0对x∈[
1
3，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0对x∈[
1
3，2]恒成立
即 a≥
1−2x
x2＝
1
x2−
2
x＝(
1
x−1)2−1恒成立故a≥[(
1
x−1)2−1]max
而当x＝
1
3，函数(
1
x−1)2−1的最大值为3，∴实数a的取值范围为a≥3．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．

f'(x)=ax-1/x+2 f(x)在区间[1/3,2]上是增函数
∴f'(x）≥0在[1/3,2]恒成立，
即ax-1/x+2 ≥0在[1/3,2]恒成立
∵x＞0 ∴上式化成
ax²+2x-1 ≥0 在[1/3,2]恒成立
显然a≠0 否则式子不成立
当a＞0 g（x）=ax²+2x-1 开口向上，∴只要g（1/3）≥...