已知动点P到点F(1,0)的距离与它到直线x=4的距离之比为1/2

设P(x,y)
依题意
(x-1)^2+y^2=(x-4)^2/4
4(x-1)^2+4y^2=(x-4)^2
4x^2-8x+4+4y^2=x^2-8x+16
动点P的轨迹方程为：
3x^2+4y^2=12
（2）点P的轨迹是中心在(0,0)的椭圆
PM最长时,直线一定过圆心
点P到x=4的距离最长时PF最长
当P(-2,0)时
PF=3 最大
PM=1+根号13
PF+PM=4+根号13
当P(0,-根号3)时
PM=4+根号3 最大
PF=2
PM+PF=6+根号3
6+根号3>4+根号13
糊糊涂涂,清明谷雨
就以P(0,-根号3)时
PM+PF=6+根号3 最大
这个答案应该是对的,但还缺一点证明.实在太难,先这样吧,看我有没有时间再证一下,这题到这里实在难.

因为PM+PF要取到最大值 即点P与点M的连线必然经过点C(0,3)

既PM=CP+CM=1+CP PF=2a-PF' 即PM+PF=1+CP+2a-PF'=5+CP-PF'

在三角形CPF'中，CP-PF'

直线CF:y=3x+3 与椭圆相交于点（-12-2√10/13,3-6√10/13)

即PM+PF=5+√10

OVER. 1001 九