（2013•深圳二模）已知动点 M 到点 F（0，1）的距离与到直线 y=4

（2013•深圳二模）已知动点 M 到点 F（0，1）的距离与到直线 y=4 的距离之和为 5．
（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程，并画出图形；
（2）若直线 l：y=x+m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A、B，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求弦长|AB|的最大值．

baiduyi 1年前已收到1个回答举报

ato945 幼苗

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解题思路：（1）设动点M的坐标为（x，y），根据两点的距离公式结合题意建立关于x、y的等式，化简整理得到x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4），从而得到轨迹是由两个抛物线弧连接而成，其图形如图所示；
（2）根据轨迹E的形状，直线l：y=x+m分别将与抛物线段E₁：y=[1/4x2（-4≤x≤4）和y=-

x2+5（（-4≤x≤4）联解，得到直线l与轨迹E有唯一公共点的两个界点处m的值，再将直线l平移进行观察，即可得到实数m的取值范围；
（3）结合（2）的结论，将两个抛物线段E₁与E₂的方程与直线l方程联解，可得交点A．B的横坐标关于m的式子，运用两点间的距离公式算出|AB|=

2]（x_B-x_A）=2

（

1+m

9−m

-5）．运用导数研究f（m）=

1+m

9−m

（0≤m＜8）的单调性，即可得到当m=1时，|AB|的最大值为20-10

．

（1）设动点M的坐标为（x，y），根据题意得M的坐标满足

x2+(y−1)2+|y-4|=5
化简整理，得x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4）
其图形是抛物线y=[1/4x2和y=-
1
16x2+5位于-4≤x≤4的部分，如右图所示
（2）设抛物线y=
1
4x2和y=-
1
16x2+5位于-4≤x≤4的部分，分别记为
曲线E₁和E₂，可得E₁与E₂的公共点分别为C（-4，4）和D（4，4）
当直线l：y=x+m经过点C（-4，4），m=8
则由

y＝x+8
y＝−
x2
16+5]，解得

x＝−4
y＝4或

点评：
本题考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题给出动点M满足的条件，求M的轨迹方程，并讨论了直线l与M的轨迹相交截得弦AB长度最大值．着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用导数研究函数的单调性和轨迹方程的讨论等知识，属于中档题．

1年前

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