设A,B均为n级方阵,A+B=AB.证明秩A=秩B

首先考虑联立线性方程组（1）　AX＝0,　BX＝0,　设其基础解析有n－r个向量．易见其解都是（A＋B）X＝0的解,　所以n－r≤n－r（A＋B）,　即r（A＋B）≤r．将（1）的基础解系分别扩充为AX＝0和BX＝0的基础解系7111　分别有n－r（A）和n－r（B）个向量．可证这总计n－r（A）＋n－r（B）－（n－r）＝n＋r－r（A）－r（B）个向量线性无关．（需要一番功夫　请先自己证明试试）．而由AB＝BA,　它们都是ABX＝0的解,　所以n＋r－r（A）－r（B）≤n－r（AB）即有r≤r（A）＋r（B）－r（AB）．于是r（A＋B）≤r（A）＋r（B）－r（AB）．