急~已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转……（接下面）
急~已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转……（接下面）
它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于点E、F.
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图①）,求证S△DEF+S△CEF=1/2 S△ABC.
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图②和图③这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给证明；若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于点E、F.
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图①）,求证S△DEF+S△CEF=1/2 S△ABC.
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图②和图③这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给证明；若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
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（1）∵DE⊥AC,∠C=90°
∴DE∥BC
又∵D为AB中点
∴DE=1/2BC
同理,∵∠EDF=90°
∴DF∥AC
又∵D为AB中点
∴DF=1/2AC
S△DEF+S△CEF = SEDFC = DE·DF = 1/2BC·1/2AC = 1/2S△ABC
（2）图①
过D作DM⊥AC,DN⊥BC
DM=1/2BC,DN=1/2AC
∵AC=BC
∴DM=DN
∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°
∴∠MDE=∠NDF
△DME≌△DNF（∠MDE=∠NDF,DM=DN,∠DME=∠DNF）
S△EDF+S△CEF=SEDFC
=SMDNC-S△MDE+S△NDF
=SMDNC
=1/2△ABC
图③ S△DEF = 1/2S△ABC+S△CEF
若要证明的话：
连结DC,DE交CF于P
DC=DB,∠CDE=∠FDB,∠DCE=∠DBF => △DCE≌△DBF
S△DEF=S△PDB+S△EPF+S△DBF
=S△PDB+S△EPF+S△DCE
=S△CDB+S△CEF
=1/2S△ABC+S△CEF
∴DE∥BC
又∵D为AB中点
∴DE=1/2BC
同理,∵∠EDF=90°
∴DF∥AC
又∵D为AB中点
∴DF=1/2AC
S△DEF+S△CEF = SEDFC = DE·DF = 1/2BC·1/2AC = 1/2S△ABC
（2）图①
过D作DM⊥AC,DN⊥BC
DM=1/2BC,DN=1/2AC
∵AC=BC
∴DM=DN
∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°
∴∠MDE=∠NDF
△DME≌△DNF（∠MDE=∠NDF,DM=DN,∠DME=∠DNF）
S△EDF+S△CEF=SEDFC
=SMDNC-S△MDE+S△NDF
=SMDNC
=1/2△ABC
图③ S△DEF = 1/2S△ABC+S△CEF
若要证明的话：
连结DC,DE交CF于P
DC=DB,∠CDE=∠FDB,∠DCE=∠DBF => △DCE≌△DBF
S△DEF=S△PDB+S△EPF+S△DBF
=S△PDB+S△EPF+S△DCE
=S△CDB+S△CEF
=1/2S△ABC+S△CEF
1年前
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