已知函数f（x）=[ax+cx2+1的图象过点（-1，-2），且满足f（-x）+f（x）=0．

解题思路：（1）先求出c=0，a=4，得f（x）=

4x

x2+1

，求出f′（x）=

4−4x2

(x2+1)2

，从而求出函数的单调区间；
（2）通过对f′（x）求导，得出f′（x）的最值．从而求出K的范围．

（1）∵函数f（x）的图象过点（-1，-2），
∴f（-1）=
−a+c/2]=-2，
∴a=4+c，
又∵f（-x）+f（x）=0，
∴c=0，a=4
∴f（x）=[4x
x2+1，
由f′（x）=
4−4x2
(x2+1)2=0，
解得：x₁=-1，x₂=1
∴f（x）在x₁处取极小值-2； 在x₂处取极大值2，
∴x∈（-∞，-1）U（1，+∞）单调递减，x∈[-1，1]单调递增；
（2）∵f′（x）=
4−4x2
(x2+1)2，
∴f″（x）=
8x5−16x3−24x
(x2+1)4，
令f″（x）=0，解得x₁=-
3，x₂=0，x₃=
3，
∴f′（x）在x₁，x₃处取极小值，在x₂处取极大值
f′（0）=4，f′（-
3）=f′（
3）=-
1/2]，
∴直线L的斜率k的取值范围[-[1/2]，4]

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．

f(x)=(ax+c)/(x²+1)经过点(-1,-2)
-2=(-a+c)/((-1)²+1), -2=(c-a)/2, c-a=-4, a=c+4
f(-x)=(a*(-x)+c)/((-x)²+1)=(c-ax)/(x²+1)
f(x)+f(-x)=(ax+c)/(x²+1)+(c-ax)/(x²+1)=2c...