已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，且f（x）在x=2处取得

已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，且f（x）在x=
2
处取得极小值-
4
2
3
．设f′（x）表示f（x）的导函数，定义数列{an}满足：an=f′（
n
）+2（n∈N*））．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）对任意m，n∈N*，若m≤n，证明：1+[man
爱与不爱都痛苦 1年前 已收到1个回答 举报
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人行青山外 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）根据函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而a=c=e=0，再利用f（x）在x=
2
处取得极小值-
4
2
3
，建立方程组，即可求得函数解析式，利用an=f′（
n
）+2，可得数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1+[man≤（1+
1
an
）m＜3等价于1+
m/n
≤(1+
1
n
)m＜3，利用二项展开式，及放缩法可得结论；
（Ⅲ）解：(1+
1
n
)n+1＞(1+
1
n+1
)n+2等价于（n+1）ln（1+
1
n]）＞（n+1+1）ln（1+[1/n+1]），构造函数f（x）=（x+1）ln（1+[1/x]）（x≥1），则上式等价于证f*n）＞f（n+1）成立，求导函数，求得函数的单调性，即可得到结论．

（Ⅰ）f′（x）=4ax3+3bx2+2cx+d，
∵函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴ax4-bx3+cx2-dx+e=-（ax4+bx3+cx2+dx+e），∴a=c=e=0
∴f（x）=bx3+dx，f′（x）=3bx2+d，
∵f（x）在x=
2处取得极小值-
4
2/3]
∴

f′(
2)＝0
f(
2)＝−
4
2
3，∴

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，难度较大．

1年前

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