设函数f(x)＝cos(2x−4π3)+2cos2x．

解题思路：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为cos(2x+

π

3

)+1，令 2kπ+π≤2x+[π/3]≤2kπ+2π，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f(B+C)＝

3

2

求得cos(2A−

π

3

)＝

1

2

，再由A的范围求得A的值．在△ABC中，由余弦定理求得a²=2²-3bc，再利用基本不等式求出a的最小值．

（Ⅰ）∵f(x)＝cos(2x−
4π
3)+2cos2x＝(cos2xcos
4π
3+sin2xsin
4π
3)+(1+cos2x)
=
1
2cos2x−

3
2sin2x+1＝cos(2x+
π
3)+1，…（2分）
令 2kπ+π≤2x+[π/3]≤2kπ+2π，k∈z，可得 kπ+[π/3]≤x≤kπ+[5π/6]，k∈z，
∴f（x）的单调递增区间：[kπ+
π
3，kπ+
5π
6](k∈Z)．…（4分）
（Ⅱ）由题意，f(B+C)＝cos[2(B+C)+
π
3]+1＝
3
2，即cos(2π−2A+
π
3)＝
1
2．
化简得cos(2A−
π
3)＝
1
2，…（6分）∵A∈（0，π），∴2A−
π
3∈(−
π
3，
5π
3)，
故只有2A−
π
3＝
π
3，∴A＝
π
3．
在△ABC中，由余弦定理，a2＝b2+c2−2bccos
π
3＝(b+c)2−3bc，…（8分）
由b+c=2知 bc≤(
b+c
2)2＝1，即a²≥1，当b=c=1时，a取最小值1．…（10分）

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．

考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，余弦定理的应用，属于中档题．