已知,如图,三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,D是AB的中点,点E、F分别在CA、BC

已知,如图,三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,D是AB的中点,点E、F分别在CA、BC
的延长线,AE=CF.求证：DE垂直DF

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证明：连接CD
∵∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点
∴∠DCB=∠DAC=45° ,CD=AD=1/2AB
CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∴∠FCD=135° ,∠DAE=135°
又∵AE=CF
△FCD≌△EAD
∴∠CDF=∠ADE
又∵ ∠ADF+∠FDC=90°
∴DE⊥DF
∴∠ADE+∠ADF=90°
即DE⊥DF
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