已知数列{an}满足a1＝3，2−2an+1an+1−3＝an(n∈N*)，记bn＝an−2an+1．

已知数列{an}满足a1＝3，
2−2an+1
an+1−3
＝an(n∈N*)，记bn＝
an−2
an+1
．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）若（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn＝
3
an+1
，求证：c1•c2•c3…cn＞
7
12
．
qq4523419 1年前 已收到1个回答 举报
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jhmf10 花朵

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解题思路：（Ⅰ）根据
2−2an+1
an+1−3
＝an(n∈N*)，可得bn＝
an−2
an+1
=
4(an+1−2)
an+1+1
＝4bn+1，从而可得数列{bn}是以[1/4]为首项，[1/4]为公比的等比数列，故可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）将（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，等价于t≤
4n+9
2n
＝2n+
9
2n
对任意n∈N*恒成立，根据y＝m+
9
m
(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，可求右边函数的最小值，从而可求实数t的取值范围；
（Ⅲ）因为cn＝
3
an+1
=1−
1
4n
，为了证明结论，首先猜想并证明(1−
1
4
)(1−
1
42
)…(1−
1
4n
)≥1−(
1
4
+
1
42
+ …+
1
4n
)，利用[1/4+
1
42
+ …+
1
4n
＜
1
4
1−
1
4
＝
1
3]，即可证得结论．

（Ⅰ）∵
2−2an+1
an+1−3＝an(n∈N*)，∴bn＝
an−2
an+1=
4(an+1−2)
an+1+1＝4bn+1，
∴
bn+1
bn＝
1
4
∵a1＝3，b1＝
1
4
∴数列{bn}是以[1/4]为首项，[1/4]为公比的等比数列
∴bn＝
1
4n；
（Ⅱ）∵bn＝
an−2
an+1，∴an＝
2•4n+1
4n−1
∵（4n-1）an≥t•2n+1-17对任意n∈N*恒成立，
∴t≤
4n+9
2n＝2n+
9
2n对任意n∈N*恒成立
∵y＝m+
9
m(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴(2n+
9
2n)min＝min{2+
9
2，4+
9
4}＝
25
4
∴t≤
25
4
∴实数t的取值范围是

点评：
本题考点： 用数学归纳法证明不等式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是恒成立问题的等价转化，及数列的特殊性，第（Ⅲ）难度较大．

1年前

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