已知数列{an}满足a1=1an=2an−1+1,n≥2,求{an}的通项公式及其前n项和Sn.

因小凤 1年前 已收到2个回答 举报

艾无言 花朵

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解题思路:根据数列的递推公式,利用构造法构造新数列满足为等比数列,求出新数列的通项公式,再求数列{an}的通项公式.
在分组求数列{an}的前n项和Sn

∵当n≥2时,an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1)

an+1
an−1+1=2,∴数列{an+1}为等比数列,且公比为2,
又∵a1=1,∴a1+1=2
∴an+1=2n,an=2n-1
Sn=21-1+22-1+…+2n-1=
2(1−2n)
1−2-n=2n+1-2-n

点评:
本题考点: 数列递推式;数列的求和.

考点点评: 本题主要考查了构造法求数列的通项公式,以及分组求和.

1年前

7

小弟变大哥 幼苗

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由an=2a(n-1)+1
得an+1=2[a(n-1)+1]
于是设bn=an+1
则bn=2b(n-1),
于是{bn}是b1=a1+1=2,公比q=2的等比数列,
bn=b1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
从而an=bn-1=2^n-1

1年前

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