线性代数 特征值与特征向量设A与B均为n阶方阵,满足AB=A-B,证明：（1）入=1不是B的特征值（2）B的特征值都是A
线性代数 特征值与特征向量
设A与B均为n阶方阵,满足AB=A-B,证明：
（1）入=1不是B的特征值
（2）B的特征值都是A的特征值
设A与B均为n阶方阵,满足AB=A-B,证明：
（1）入=1不是B的特征值
（2）B的特征值都是A的特征值
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（1）用反证法,若入=1是B的特征值,a为对应的特征向量,则
Ba=a
所以 ABa=Aa-Ba
Aa=Aa-a
故 a=0,与a是特征向量矛盾,故入=1不是B的特征值.
（2）题目有误,应该是“B的特征向量都是A的特征向量”
事实上,设入是B的任意特征值,a为对应的特征向量,则
ABa=Aa-Ba
入 Aa=Aa-入a
（入-1)Aa=-入a
Aa=-[入/（入-1）]a
所以a 是A的属于特征值-[入/（入-1）]的特征向量.
Ba=a
所以 ABa=Aa-Ba
Aa=Aa-a
故 a=0,与a是特征向量矛盾,故入=1不是B的特征值.
（2）题目有误,应该是“B的特征向量都是A的特征向量”
事实上,设入是B的任意特征值,a为对应的特征向量,则
ABa=Aa-Ba
入 Aa=Aa-入a
（入-1)Aa=-入a
Aa=-[入/（入-1）]a
所以a 是A的属于特征值-[入/（入-1）]的特征向量.
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