已知数列{an}满足a1=1，an-2an-1-2n-1=0（n∈N*，n≥2）．

解题思路：（1）由已知条件推导出

an

2n

−

an−1

2n−1

＝

1

2

，由此证明{

an

2n

}是以[1/2]为首项，[1/2]为公比的等差数列．
（2）由（1）知

an

2n

＝

1

2

+

1

2

(n−1)，从而得到an＝n•2n−1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

（1）证明：∵数列{a_n}满足a1=1， an-2an-1-2n-1=0(n∈N*，n≥2)，
∴
an
2n-
an-1
2n-1=
1
2，
又
a1
2=
1
2，
∴{
an
2n}是以[1/2]为首项，[1/2]为公比的等差数列．
（2） 由（1）知
an
2n=
1
2+
1
2(n-1)，
∴an=n•2n-1，
∴Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②
①-②，得：
-S_n=1=1+2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ
=
1-2n
1-2-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．