已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2，且n∈N*）

（1）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
∴
an
2n＝
an−1
2n−1+1
∴
an
2n−
an−1
2n−1＝1
∴数列{
an
2n}是以[1/2]为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得
an
2n＝
1
2+(n−1)•1＝n−
1
2
∴a_n=(n−
1
2)•2n；
（3）∵S_n=[1/2•21+
3
2•22+…+(n−
1
2)•2n
∴2S_n=
1
2•22+
3
2•23+…+(n−
1
2)•2n+1
两式相减可得-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-(n−
1
2)•2n+1=（3-2n）•2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3＞（2n-3）•2ⁿ
∴
Sn
2n＞2n−3．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式及前n项和，考查不等式的证明，考查构造法的运用，确定数列的通项，正确求和是关键．

1年前

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