已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．

解题思路：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a_n}的前n项和为S_n；
（Ⅲ）求出b_n=

Sn−3

3n

的通项公式，建立不等式关系即可试求数列{b_n}的最大项．

（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
得
an
2n＝
an−1
2n−1+1，
即{
an
2n}是首项为[1/2]，公差d=1的等差数列，
则
an
2n=[1/2+(n−1)＝n−
1
2]，
数列{a_n}的通项公式a_n=（2n-1）•2^n-1；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n；
∵a_n=（2n-1）•2^n-1；
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1；
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ；
两式相减得-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=1+
22(1−2n+1)
1−2−(2n−1)•2n=-3+（3-2n）•2ⁿ；
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3
（Ⅲ）∵b_n=
Sn−3
3n，∴b_n═（2n-3）•（[2/3]）ⁿ，
由

bn≥bn+1
bn≥bn−1，
即

(2n−3)(
2
3)n≥(2n−1)(
2
3)n+1
(2n−3)(
2
3)(
2
3)n≥(2n−5)(
2
3)n−1，
解得[7/2≤n≤
9
2]，即n=4，
即数列{b_n}的最大项为b4＝
80
81．

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查递递推数列的应用，综合考查学生的运算能力，要求熟练掌握求和的常见方法．