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mq911 春芽
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(Ⅰ)证明:∵数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2且n∈N*).
∴
an
2n=
an-1
2n-1+1,
∴
an
2n-
an-1
2n-1=1,
∴{
an
2n}是等差数列.
(Ⅱ)∵数列{an}满足a1=1,
∴
a1
21=
1
2,
由(Ⅰ)知:{
an
2n}是等差数列.
∴
an
2n=
1
2+(n-1)=n-
1
2.
∴an=(2n-1)2n-1.
(Ⅲ)由an=(2n-1)2n-1得:
Sn=1•20+3•21+5•22+…+(2n-1)2n-1,…①
2Sn=1•21+3•22+5•23+…+(2n-1)2n,…②
将①-②得:-Sn=1+2•21+2•22+2•23+…+2•2n-1-(2n-1)•2n,
即:-Sn=1+(2•21+2•22+2•23+…+2•2n-1)-(2n-1)•2n,
=1+
22(1-2n-1)
1-2-(2n-1)•2n,
=-3+(3-2n)•2n,
∴Sn=(2n-3)•2n+3.
点评:
本题考点: 数列递推式;等差关系的确定;数列的求和.
考点点评: 本题考查了构造数列法求数列通项、错位相减法求数列的和,本题有一定的计算量,难度适中,属于中档题.
1年前
1年前1个回答
你能帮帮他们吗