(2009•淄博一模)已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2(n≥2,a1=2),

(2009•淄博一模)已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2(n≥2,a1=2),
(1)求a2,a3,a4
(2)是否存在一个实数λ,使得数列{
an
2n
}成等差数列,若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由;
(3)求数列{an}的前n项和,证明:Sn≥n3+n2
爱的奉献81 1年前 已收到1个回答 举报

jpg123 幼苗

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解题思路:(1)利用数列递推式,代入计算,可得结论;
(2)假设存在一个实数λ,使得数列{
an
2n
}成等差数列,则
an
2n
an−1
2n−1
=1+
2−λ
2n
恒为常数,由此可得结论;
(3)确定数列的通项,利用错位相减法求数列的和,再结合二项式定理,即可得到结论.

(1)∵an=2an-1+2n+2(n≥2,a1=2),
∴a2=4+4+2=10,a3=20+8+2=30a4=60+16+2=78;
(2)假设存在一个实数λ,使得数列{
an+λ
2n}成等差数列,则
an+λ
2n−
an−1+λ
2n−1=1+
2−λ
2n恒为常数
∴2-λ=0,即λ=2
此时
a1+2
2=2,
a2+2
2−
a1+2
2=1
当λ=2时,数列{
an+λ
2n}是首项为2、公差为1的等差数列
(3)证明:由(2)得
an+λ
2n=
a1+2
2+(n−1)=n+1
∴an=(n+1)•2n−2
∴Sn=2•2+3•22+…+(n+1)•2n-2n
∴2Sn=2•22+3•23+…+(n+1)•2n+1-4n
两式相减得:
-Sn=2•2+22+23+…2n+(n+1)•2n+1+2n=-n•2n+1+2n
∴Sn=n•2n+1−2n
当n=1或2时,有Sn=n3+n2
当n≥3时,Sn=n•2n+1−2n=2n[(1+1)n-1]≥2n[1+n+
n(n−1)
2]=n3+n2

点评:
本题考点: 数列递推式;等差关系的确定.

考点点评: 本题考查数列递推式,考查等差数列的证明,考查数列的通项与求和,考查不等式的证明,属于中档题.

1年前

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