an−1 |
2n |
chenanman 幼苗
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an−1 |
2n |
an−1−1 |
2n−1 |
(I)证明:∵an=2an-1+2n-1(n≥2),∴an−1=2(an−1−1)+2n,
∴
an−1
2n=
an−1−1
2n−1+1.∴bn=bn-1+1.
∴{bn}是首项为
a1−1
2=[5−1/2]=2,公差为1的等差数列;
(II)由(I)可得bn=2+(n-1)×1=n+1,
∴
an−1
2n=n+1,∴an=(n+1)•2n+1,
令cn=(n+1)•2n,其前n项和为Tn,
则Tn=2×2+3×22+4×23+…+n•2n-1+(n+1)•2n,
2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+(n+1)•2n+1,
两式相减得-Tn=2×2+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1=2+
2(2n−1)
2−1-(n+1)•2n+1=-n•2n+1,
∴Tn=n•2n+1.
∴Sn=Tn+n=n+n•2n+1.
点评:
本题考点: 数列递推式;等差关系的确定;数列的求和.
考点点评: 本题考查了通过变形转化为等差数列、等差数列的通项公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法,属于难题.
1年前
1年前1个回答
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