已知数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2an-2n（n∈N*）．

（1）a₁=S₁=2a₁-2，a₁=2．
a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2-2a_n，
a_n+1=2a_n+2，
a_n+1+2=2（a_n+2），
{a_n+2}是首项为a₁+2=4，公比为2的等比数列．
a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=
1
an+2=
1
2n+1−2+2=
1
2n+1，
T_n=
1/4+
1
8+
1
16+…+
1
2n+1]
=

1
4(1−
1
2n)
1−
1
2
=[1/2−
1
2n+1]，
∴
lim
n→∞T_n=
lim
n→∞（
1
2−
1
2n+1 ）=[1/2]．
（3）假设存在这样3项，则有
a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，
∴2^r+1-2+2^t+1-2=2（2^s+1-2）
整理得到
2^r+2^t=2^s+1，
两边同时除以2^r，
1+2^t-r=2^（s-r+1），
等式左边为奇数+偶数，其结果必然为奇数，
等式右边为偶数，故上述等式不能成立，
∴数列{a_n}中不存在三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差数列．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的极限值的求法，考查等差数列的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．

1年前

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